03 — Le pipeline de projection

Ce que tu vas apprendre

Les cinq espaces traversés par un point, du monde au pixel
La division perspective, le cœur de l'effet de profondeur
Pourquoi on passe par des coordonnées normalisées (NDC)
Comment on retombe enfin sur des coordonnées pixel

Prérequis

Les matrices et l'inverse de la série maths
Les réglages de caméra

On a une caméra réglée. Reste à faire voyager un point 3D jusqu'à son pixel. Ce voyage traverse une suite d'espaces, chacun avec sa transformation. C'est mécanique une fois qu'on connaît les étapes — et c'est exactement ce que fait une carte graphique des millions de fois par image.

Les cinq espaces

  monde  →  caméra  →  écran  →  NDC  →  raster
 (world)   (camera)  (screen)         (pixel i,j)
   M⁻¹      ÷(-z)      normalise     ×résolution

Suivons un point P à chaque étape.

Étape 1 — Monde → caméra

P est défini en espace monde. Pour le projeter, il faut d'abord l'exprimer du point de vue de la caméra. On le multiplie par la matrice monde-vers-caméra, qui est l'inverse de la matrice caméra-vers-monde (celle de LookAt). Comme cette matrice est orthogonale, son inverse est sa transposée — gratuit, comme vu en série maths.

Après cette étape, la caméra est à l'origine et regarde vers les z négatifs. La profondeur d'un point est donnée par son z (négatif s'il est devant la caméra).

Étape 2 — Caméra → écran : la division perspective

Voici le cœur de la perspective. Pour projeter un point sur le plan image, on divise ses coordonnées x et y par sa profondeur :

P'.x = P.x / -P.z
P'.y = P.y / -P.z

(Le signe moins vient de la caméra qui regarde vers les z négatifs.) C'est tout ! Cette simple division crée l'effet de profondeur : plus un point est loin (|z| grand), plus on divise par un grand nombre, donc plus il se rapproche du centre de l'image et paraît petit. Deux objets identiques à des distances différentes se projettent à des tailles différentes. C'est la traduction mathématique de « les rails se rejoignent à l'horizon ».

Le résultat P' vit sur le plan image, dans l'espace écran (screen space) — des coordonnées 2D exprimées dans l'unité du canvas, centrées sur l'axe optique.

Étape 3 — Écran → NDC

Les coordonnées écran dépendent de la taille du canvas. On les normalise dans un intervalle propre et indépendant de la résolution : les coordonnées normalisées (Normalized Device Coordinates, NDC). Selon la convention, NDC va de [0, 1] ou de [-1, 1].

P_ndc.x = (P'.x + largeurCanvas/2) / largeurCanvas      // → [0, 1]
P_ndc.y = (P'.y + hauteurCanvas/2) / hauteurCanvas

L'intérêt des NDC : à ce stade, tout est exprimé en proportions de l'image (« à 30 % de la largeur, 70 % de la hauteur »), sans savoir si l'image finale fera 800 ou 4000 pixels de large. C'est un espace pivot, propre et réutilisable.

Étape 4 — NDC → raster

Dernière marche : convertir les proportions en vraies coordonnées pixel (raster space). On multiplie par la résolution, on prend la partie entière, et on retourne l'axe y (en NDC, y monte ; en raster, y descend, le pixel (0,0) étant en haut à gauche) :

i = floor( P_ndc.x × largeurImagePx )
j = floor( (1 − P_ndc.y) × hauteurImagePx )   // y inversé

(i, j) est enfin l'adresse du pixel. Le voyage est terminé.

En une fonction

Mis bout à bout, voici le squelette du calcul (rasterization) :

cppbool computePixelCoordinates(const Vec3f& pWorld, const Matrix44& worldToCamera,
                             /* canvas, résolution... */ int& i, int& j)
{
  Vec3f pCamera = pWorld * worldToCamera;            // 1. monde → caméra
  Vec2f pScreen;
  pScreen.x = pCamera.x / -pCamera.z;                // 2. division perspective
  pScreen.y = pCamera.y / -pCamera.z;
  Vec2f pNDC;                                         // 3. écran → NDC
  pNDC.x = (pScreen.x + canvasW/2) / canvasW;
  pNDC.y = (pScreen.y + canvasH/2) / canvasH;
  i = floor(pNDC.x * imageW);                         // 4. NDC → raster
  j = floor((1 - pNDC.y) * imageH);
  return /* le point est-il dans le canvas ? (visible) */;
}

Tout ce pipeline suppose que le point est dans le volume visible. Définir ce volume — le frustum — et écarter ce qui en sort, c'est le sujet de l'article suivant.

Sources

Scratchapixel. Computing the Pixel Coordinates of a 3D Point — Mathematics of Computing the 2D Coordinates. scratchapixel.com
Scratchapixel. Perspective Projection. scratchapixel.com
Marschner, S., & Shirley, P. (2021). Fundamentals of Computer Graphics (5ᵉ éd.), chap. « Viewing ». CRC Press.